Свойства степеней. Степень, ее свойства, возведение в степень. После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.
Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем. Например, основное свойство дроби am.
Нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла. Операции со степенями. При умножении степеней с одинаковым основанием. Перечислены основные свойства степеней с различными показателями, степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3.
По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида am. В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n, то есть, am+n. На этом доказательство завершено. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3, по основному свойству степени можно записать равенство 2. Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2. Выполняя возведение в степень, имеем 2. Так для любого количества k натуральных чисел n.
Условие m> n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m> n показатель степени am. Основное свойство дроби позволяет записать равенство am. Из полученного равенства am. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно an.
То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем . Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство .
Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)1. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a.
Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень an есть положительное число. В силу доказанного свойства 3. К примеру, 0. 3=0 и 0. По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a. В силу этого свойства (.
- Правила действий со степенями. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
- Надо разложить 63 на два множителя 63^4=(7*9)^4=7^4*9^4 Дальше сокращать одинаковые основания 9^6 * 7^4 : 63^4= 9^(6-4)* 7^(4-4)=9^2*7^0=81*1=81 ПРИ СОКРАЩЕНИИ ОДИНАКОВЫХ ОСНОВАНИЙ ОСНОВАНИЕ ПЕРЕПИСЫВАЕМ, А СТЕПЕНИ ВЫЧИТАЕМ.
Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Для этого запишем разность am. Записанная разность после вынесения an за скобки примет вид an.
Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа an и отрицательного числа am. Для примера приведем верное неравенство . Докажем, что при m> n и a> 1 справедливо am> an. Это произведение положительно, так как при a> 1 степень an есть положительное число, и разность am. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3.
Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0, а числа m и n – целые положительные. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел.
Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (ap)q=ap. Если p=0, то имеем (a. Аналогично, если q=0, то (ap)0=1 и ap. Если же и p=0 и q=0, то (a. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем .
Последнее выражение по определению является степенью вида a. Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как . Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию a< b, то по свойству степени с натуральным показателем an< bn, следовательно, bn. Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел bn. Следовательно, откуда a.
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a> 0, а если и , то при a. Приведем доказательства. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено. Докажем, что для любых положительных a и b, a< b и рациональном p при p> 0 справедливо неравенство ap< bp, а при p< 0 – неравенство ap> bp.
Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p< 0 и p> 0 в этом случае будут эквивалентны условия m< 0 и m> 0 соответственно. При m> 0 и a< b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство am< bm. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, ap< bp. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p> q при 0< a< 1 выполняется неравенство ap< aq, а при a> 0 – неравенство ap> aq.
Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m. При этом условию p> q будет соответствовать условие m. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0< a< 1 должно быть справедливо неравенство am. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p> q и 0< a< 1 выполняется неравенство ap< aq, а при a> 0 – неравенство ap> aq.
Так для любых a> 0, b> 0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями. Математика. Ж учебник для 5 кл. Алгебра: учебник для 7 кл. Алгебра: учебник для 8 кл. Алгебра: учебник для 9 кл. Алгебра и начала анализа: Учебник для 1.
Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение) по предмету алгебра за 7 класс. Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)Напоминание: Основные определения: Здесь a - основание степени,n - показатель степени,- n- ая степень числа. Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным. Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n иk, таких, что n > k справедливо равенство: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство: Теорема 4. Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство: Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
Теорема 5. Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство: Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным. Пример 1: Возвести дробь в степень. Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 5.
Для решения следующего примера вспомним формулы: в) д) Замечание: , е) ж)Пример 4: Вычислить наиболее рациональным способом. Список рекомендованной литературы. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. Алгебра 7 . М.: Просвещение. Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.
Школьный помощник (Источник). Школьный помощник (Источник). Рекомендованное домашнее задание. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Вычислить наиболее рациональным способом. Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.